個数の見積り

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  • N個の非負数値x1x2...xNに対して主な影響を与える要素が何個分か見積もる.

W_{m,n}=\(\frac{\(\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i^n\)^m}{\(\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i^m\)^n}\)^{\frac{1}{m-n}}

  • この式には次のような意味がある.
記号 式 備考
W0,n \sharp(x_i > 0) 非0要素の個数(0でなければ皆平等)
W1,1 \(\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i\)\exp\(-\frac{\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i\log x_i}{\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i}\) エントロピー(の指数)
W2,1 \frac{\(\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i\)^2}{\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i^2} Herfindahl-Hirschman Index(分の1)
W1,α \(\frac{\(\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i^{\alpha}\)}{\(\sum_{i=1}^{\tiny{N}}x_i\)^{\alpha}}\)^{\frac{1}{1-{\alpha}}} Renyi エントロピー(の指数)
W∞,n \sum_{i=1}^{\tiny{N}}\(\frac{x_i}{\max_{k}(x_k)}\)^n n=1のときはトップシェア(分の1)
W∞,∞ \sharp(x_i=\max_{k}(x_k)) 最大値の個数(勝者のみが認められる)
  • 例
(1,1,1) (1,1,0) (100,1,1) (100,50,0) (100,50,33,25,20) (100,10x10) (100,1x100)
W1,0 3 2 3 2 5 11 101
W1,1 3 2 1.12 1.89 4.18 6.32 20
W2,1 3 2 1.04 1.80 3.56 3.64 3.96
W∞,1 3 2 1.02 1.5 2.28 2 2
W∞,∞ 3 2 1 1 1 1 1